Fizika

Mérjük meg a Földet!

Bevezetés.

Eratoszthenész görög csillagász (Kr. e. 200 körül) meghatározta a Föld sugarát: Tudomására jutott, hogy Szüéné városában (a mai Asszuán) a nyári napforduló idején mély, függőleges kutak fenekéig bevilágít a Nap. Lakóhelyén, a Földközi-tenger partján, Szüénétől északra fekvő Alexandriában a Nap sosem emelkedett a zenitig.

Alexandriában nyári napfordulókor megmérte a napsugarak függőlegessel bezárt szögét, és úgy találta, hogy a teljes szög ötvenedrészével egyenlő. (~7,2°) Ennek meghatározásához egy egyszerű gnómont, azaz árnyékvető pálcát alkalmazott: figyelte, hogyan rövidül annak árnyéka: ahol a legrövidebb volt, ott delelt a Nap, azaz akkor járt a legmagasabban. Az egymásra merőleges pálca és árnyéka meghatároz egy derékszögű háromszöget, melynek átfogója és a pálca által bezárt szög a zenitszög lesz.

A két város távolságát 5000 stadionnak ismerte. (Feltehetően a tevekaravánok számára szükséges időből következtetett.) Eratoszthenész adatai alapján hány stadion a Föld sugara?

Megoldás.

Aránypárral. 7,2° : 360° = 5000 stadion : a Föld kerületéhez.

Ebből a Föld kerülete = 5000*360/7,2 = 250 000 stadion. Tehát a Föld sugara: R=250 000/2/Pi=39 789 stadion.

Mi most a következő módszerekkel mérjük meg.

Első módszer.

Az első mérésnél nem Eratoszthenész görög csillagász módszerét használjuk, hanem egy modern módszert, amit egy hatodik osztályos is el tud végezni.

A módszer:

• Jelöljünk ki egy észak-dél irányú egyenes útszakaszt, ami legalább 1,5 km hosszú.
• Határozzuk meg GPS segítségével a kezdő- és végpont földrajzi szélességét.
• Aránypárral számoljuk ki a Föd kerületét és a sugarát.

Egy példa.

Szombathelyen, az „Újperint” Külső Pozsonyi úti körforgalomtól egyenes kerékpárút vezet pontosan dél felé a Petőfitelep, Sárosi Gyula utcáig. (A 86-os úttal párhuzamosan.) Mérjük meg a kerékpár kilométer számlálójával az út hosszát, és mérjük meg GPS segítségével a kiindulási és végpont földrajzi szélességét!

Az eredmény alapján becsüljük meg a Föld sugarát.

Megoldás. Az út hossza i=2,4 km. A két földrajzi szélesség 47,20806° és 47,18653°, vagyis a különbség 0,02153°. Felírva az aránypárt a Föld (k) kerületére:

2,4 :k = 0,02153°: 360°

Ebből a Föld kerülete k= 40 130 km, ezt 2-vel osztva a sugara:

R=6 387 km.

Megjegyzés: Az ország bármely területén kereshetünk egy hasonló kerékpárutat, vagy nem túl forgalmas utat, ahol a mérést el tudjuk végezni.

Második módszer.

• Keressünk egy vadászlest, amely nyugat felé vízszintes nyílt területre néz.
• A vadászles tetejéről és aljáról figyeljük meg a Nap, a Hold esetleg a Vénusz lenyugvását.
• Amikor a vadászles alján az égitest a horizont alá bukott, indítsuk el a stopperórát és siessünk fel a tetejére.
• Amikor fent is ugyanezt észleljük, állítsuk le a stopperórát.
• Mérjük meg a fenti és lenti szemmagasságunk különbségét.

Megjegyzés: 

1. Egyszerűbb, ha a mérést ketten végezzük. Az egyik fent, a másik pedig lent van.
2. Ha csak a napnyugtát figyeljük meg, akkor nem kell a Napba nézni, elég ha egy távoli tárgy árnyékának felfutását mérjük egy függőleges oszlopon, vagy falon.

Hogyan kaphatjuk ebből a Föld sugarát?

Megoldás. Kilencedik osztálytól felfelé ajánlott.

Tekintsük a következő ábrát!

Az ábrán látható derékszögű háromszögben az  szög meghatározható. Ha t másodperc időt mértünk, akkor, Mivel a Föld egy nap (24*3600 s) alatt 360°-ot fordul el, t idő alatt 360°*t/(24*3600)=t/240  fok az elfordulása.

Az ábra alapján cos  =R/(R+h) amiből R=h*cos  /(1-cos ).

Ha a mért adataink t=16,4 s és h=4,5 m, akkor R=6327 km.